BONOS DEFINICION: UN BONO ES UNA PROMESA DE

BONOS DEFINICION: UN BONO ES UNA PROMESA DE

BONOS DEFINICION: UN BONO ES UNA PROMESA DE PAGAR MONTOS ESPECIFICOS DE DINERO EN FECHAS PREDETERMINADAS EN EL FUTURO A LO LARGO DE UN PRIODO FIJO DE TIEMPO. Los parmetros de los bonos P = El precio de mercado del bono Ct = El monto que el bono promete pagar en fin del perodo t. M= El perodo del vencimiento del bono. t = 1,2,, M. ( Maturity) VF = El valor nominal del bono (Face Value o, Valor Futuro) Usualmente, los montos de los pagos son iguales: Ct = C t = 1, ., M - 1 y el ltimo pago: CM = C + FV

C se llama tambin el cupn del bono CR = La tasa del cupn. Es un % del VF: C = (CR)(VF). EJEMPLO: UN BONO PARA 30 AOS CON VALOR NOMINAL DE $1.000 Y CUPON RATE DEL 8% PAGADOS ANUALMENTE. CR = 8%; FV = $1.000; M = 30 C = (0,08)($1.000) = $80 El tenedor del bono recibir $80 todos los aos a lo largo de los siguientes 29 aos. El ltimo pago ser: $80 + $1.000 = 1.080 = C + FV. Muchos de los bonos existentes pagan su cupn ms que una vez al ao. En terminos generales: N= el nmero de los pagos al ao, as que hay pagos en total. C/N = NM el monto de los pagos VF + C/N = el ltimo pago. En el ejemplo arriba, si los pagos fueran EMESTRALES, N = 2, Los pagos seran = C/2 DEFINICIN: Bonos que pagan el VF al vencimiento

y no pagan nada, C = 0, durante los perodos interinos se llaman BONOS CUPON CERO DEFINICIN: Un bono con cupn C que nunca se vence se llaqma CONSUL FORMULAS DE PRECIOS DE BONOS M P t 1 C (1r) t M t 1 t C2 C3 C 1 P 1 r1 (1 r1)(1 r2) (1 r1)(1 r2)(1 r3) r rt t 1,2,...., M : M

P t 1 C FV (1r) (1r) C P 1 r t t (1r) M M FV M (1r) En las frmulas en la pagina anterior la r significa el rendimiento al vincimiento (YIELD TO MATURITY). La frmula para el bono con pagos semestraleses: 2M P

t 1 C FV 2 r t r 2M (1 ) (1 ) 2 2 La frmula para el bono cupn cero: FV P (1r) M La frmula para el precio de un Consul es: P = C/r EJEMPLOS: M = 30 FV = $1.000 Pagos semestrales: CR= 8% C = (0,08)1.000/2 = $40. r = 10% 60 40 1.040

t 60 1,05 t 1 (1 0, 05 ) 40 1.000 60 P 1 1,05 $810,70 60 0,05 1,05 El mismo bono con pagos anuales: M = 30; FV = $1.000; C = (0,06)1.000 = $80; CR= 8%; r = 10%. 80 1.000 30 1 1,1 $811,46 30 1,1

1,1 Se vende este bono a un descuento porque CR =0,8 < r = 10%. Si la r fuera del 5% (en vez del 10%), el precio del mismo sera: 40 1.000 60 P 1 1,025 $1.463,63 60 0,025 1,025 Y el bono se vendra con una prima. Resultado: CR = r el bono se vende a su par P = VF CR > r el bono lleva una prima P > VF CR < r el bono lleva un descuento P < VF Si dicho bono fuera un bono de cupon cero el bono se vendra a: 1.000

$57, 31 30 1,1 Si el bono fuera un consul su precio sera: $80 P $800 0,1 Es decir, invertiendo $800, el bono promete al inversionista un flujo de caja indefinido de $80. En los EEUU las cuotas de los precios de bonos son en trminos de un rendiniento de descuento: d 360 DESCUENTO 360 FV P d t VF t FV Sin embargo, lo que se interesa al inversionista se llama el rendimiento equivalente del bono (REB) (BOND EQUIVALENT YIELD(BEY) 365 FV P i t P

365 dt i d 1 360 360 1 365d 360 dt EJEMPLO: t = 90 days FV = $1.000.000 d = 11% 360 DESCUENTO 0,11 90 1.000.000 DESCUENTO $27.5000. 1.000.000 972.500 360 d 0,11 1.000.000 90 365 1.000.000 972.500 REB i 0,11468

90 972.500 365 (0,11)90 i (0,11) 1 360 360 1 0,11468 DURATION de MACAULY M D t 1 tC t 1 r t P Ct M t (1 r) D t P t 1

Ct (1 r) t Wt ; P M D tWt t 1 M W t t 1 1. INTERPRETACION DE LA DURACION La DURACION es un promedio ponderado del nmero de los perodos, es decir, de los tiempos de los pagos de los cupones. Las ponderaciones son las proporciones de los valores actuales de los montos pagados del precio actual del bono.

DURACION interpretada como una medida de sensibilidad. M Ct P t t 1 1 r dP dP 1 M tC t dr d(1 r) (1 r) t 1 (1 r) t dP (1 r) (1 r) M tC t d(1 r) P P(1 r) t 1 (1 r) t dP P d(1 r) 1r M tCt t (1

r) t 1 D P RESULTADO: D = - {La elasticidad del precio del bono} EL %( PRECIO DEL BONO) D EL %(RENDIMIENTO) D LA ELASTICIDAD DEL PRECIO DEL BONO Segn las dos interpretaciones arriba, se puede interpretar una duracin de D = 7 de un bono con vencimiento de 15 aoa como: 1. La inversin en el bono se recupera en 7 aos. 2. Cunado se cambia el rendimiento al vencimiento por 1%, el precio del bono se cambia en unos 7%. La frmula (cerrada) para calcular la duracin de un bono depende de los siguientes parmetros: N = El nmero total de los pagos m = El nmero de los pagos cada ao f = La fraccin del ao hasta el pago del prximo cupn f1 2

3 4.N aos N r N 2 VF N 1 (1 fr) 1 1 r r f m m C m D N 2 VF r r 1 1 r C m EJEMPLO: r = 10% = 0,1 VF = $ 100 C = $6 => CR = 6%

N = 30 f=1 m=1 P = $62,29 100 1,1 1,1 1 (0,1)30 (0,1) 30 6 D 30 2 100 (0,1) 1,1 1 (0,1) 6 30 D 11,09 2 Ejemplo: r = 10% VF = $ 100 C = $6 f=1 m = 2 => Pagos semestrales N = 60

60 60 2 100 1,1 1,05 1 0,1 0,1 1 2 6 2 D 2 100 60 0,1 1,05 1 0,1 6 60 D 14,23 1 Tabla de duracin r = 10% N\C R 5 0

2 4 6 8 10 12 14 16 5 4,76 4,57 4,41 4,28 4,17 4,07 3,99 3,92 10

10 8,73 7,95 7,42 7,04 6,76 6,54 6,36 6,21 15 15 11,61 10,12 9,28 8,74 8,37 8,09 7,88 7,71 20

20 13,33 11,20 10,32 9,75 9,36 9,09 8,89 8,74 25 25 14,03 11,81 11,86 10,32 9,98 9,75 9,58 9,45 30 30

14,03 11,92 11,09 10,65 10,37 10,18 10,04 9,94 35 35 13,64 11,84 11,17 10,82 10,61 10,46 10,36 10,28 40 40 13,13 11,70 11,18 10,92 10,76 10,65 10,57 10,51

50 50 12,19 11,40 11,40 10,99 10,91 10,85 10,81 10,78 100 100 11,02 11,01 11,00 11,00 11,00 11,00 11,00 11,00 Como aproximarse el cambio del precio del bono antes de un cambio de rendimiento al vencimiento Usando la DURACION: Obsrvase que de la frmula: dP P Dd(1 r)

1r se puede escribir la aproximacin : d(1 r) P DP 1r EJEMPLOS: r = 10% r = 11% 0,01 P 11,09 62,29 1,1 r 10% 6,28 P1 $56,01 r = 8% (- 0,02) P = - (11,09)(62 ,29) 12,56 P1 $74,85 1,1 EL RATIO DE COBERTURA BASADO DE LA DURACION El ratio de sensibilidad del precio:

Recurdese que el valor de la posicin de cobertura es: V = S + NF. El activo subyacente es un bono y por lo tanto, los cambios del precio del bono ocurren cuando se cambie la tasa de inters y por ella se cambia el remdimiento al vencimiento. En trminos matematicos: dV dS dF dS dyS dF dy F + N = + N . dyS dr dy F dr dr dr dr EL OBJETIVO DEL RATIO DE LA SENSIBILIDAD DEL PRECIO En este caso el objetivo de la cobertura es que no se cambia el valor de la posicin, SPOT y FUTUROS cuando se cambie la tasa de inters. Otra vez, el cambio del valor de la posicin es: dV dS dF dS dyS dF dy F

+ N = + N . d y d y dr dr dr S dr F dr El problema es resolver esta ecuaci para el nmero de los futuros, N, bajo la condicin que el valor de la posicin SPOT y FUTUROS ne se cambia: dV dr = 0 dS dyS . dyS dr => N = dF dy f . dy F dr Usando la definicin de la duracin: DS

DF dS 1 + yS dS 1 + yS = dyS dyS S S dF 1 + y F dF 1 + y F = dy F dy F F F Sustituimos por dS/dys y tambin por dF/dyF y resolvemos por N: dyS (1 + y F) dr SDS N = dy F (1 + yS) FD F dr El ptimo nmero de los futuros es: S DS (1 + y F) N = F DF (1 + yS) LOS FUTUROS SOBRE ACTIVOS SUBYACENTES QUE REDITUAN INTERES Los contratos ms exitosos son los dos futuros a corto plazo: 13-semanas T-bills y

3-months Eurudlar time deposit y el futuro a largo plazo: Treasury T-bonds. En esta asignatura vamos a tocar slo los primeros. LAS ESPECIFICACIONS DE LOS CONTRATOS Specifications 13-week U.S Treasury bill Three-month Eurodollar time deposit Size $1,000,000 $1,000,000 Contract grade New or Dated treasury bills Cash settlement with 13 weeks to maturity Yields Discount Add-on Hours 7:20AM to 2:00 (Chicago time) Delivery Months Mar. Jun. Sep. Dec. 7:20 AM to 2:00 PM

Ticker Symbol TB ED Minimum Price Fluctuations .01(1 basis point) ($25/pt) .01(1 basis point) ($25/pt) Last day of trading The day before the first delivery day 2nd London business day before 3rd Wednesday Delivery Date 1st day of spot month on Last day of trading which 13-week Treasury bill is issued and a 1-year T-bill has 13 weeks to maturity Mar. Jun. Sep. Dec. COBERTURA LARGA CON

FUTUROS DE T-BILLS FECHA 15.2 SPOT P = $979.272,22 FUTUROS F = $978.300 .25 979,272 1.0876 . . = 1 NF = .25 978,300 1.0981 y = ( 100 S 97.927222 365 91 - 1) = .0876 365 y = ( 100 91 - 1) = .0981 F 97.83 Comprar 1 futuro de T-bill para junio. 17.5 P = $980.561 Vender 1 futuro de T-bill para junio. F = $981.350 Comprar $1M por $980.561

Ganacia de futuros: ($981.350 978.300)(1) = $3.050 El precio pagado $977.511 COBERTURA CON FUTUROS DE EURODOLARES FECHA 23.5 SPOT 90-das L = 9,25% FUTUROS F = 906.500 Vas a tomar un prstamo de Vender 10 futuros de $10M el 19 de junio por L eurodlares para junio 19.6 Tomar $10M para 90 Comprar 10 futuros de Das r = L eurodlares F = $930.000 1. L = 7% Prdida de los futuros: $235.000/4 = $58.750 Inters ($10M)(0,07)(0,25) = $175.000 Pago total $233.750 2. L = 10,5% F = 895.000

Ganacia de los futuros: $115.000/4 = $28.750 Inters ($10M)(0,105)(0,25) = $262.500 Pago total $233.750 r pagado: [233.750/10M](4) = 9.35% Una firma toma un prstamo de $10M con tasa flotante L+1% FECHA SPOT FUTUROS 15.Sep Recibir $10M Vender 10 futuros de T-bills L = 8% =>r = 9%=>I = $225.000 91,75 F(diciembre) F(marzo) = 91,60 F(junio) = 91,45 = I pagado $225.000 (9%) 15.Dic L = 9,15%=>r=10,15%=>I=$235.750 Comprar 10 futuros de T-bills F(diciembre)=90,85

ganancia = 10[91,75-90,85]10.000(0,25) = $22.500 I pagado $231.250 (9,25%) 15.Marzo L =9,50%=>r=10,50%=>I =$262.500 Comprar 10 futuros de T-bills F(Marzo) = 90,50 ganacia = 10[91,60-90,50]10.000(0,25)= $27.500 I pagado &235.000(9,40%) FECHA SPOT FUTUROS 15.June L = 10,05%=>r=101,05%=>I=$276.250 Comprar 10 futuros de T-bills F(junio)=89,95 ganancia = 10[91,45-89,95]10.000(0,25) = $37.500 I pagado $238.750 (9,55%) 15.Sep Repagar $10M En todos los perodos el inters, I, y la tasa r se determinan segn las frmulas: I = 10[(L + 100)/100]10.000(0,25) r = {[I pagado]/10M}(0,25) El banco da un prstamo de $10M con tasas fijas De: 9,00%; 9,25%; 9,40%; 9,55% FECHA TASA SPOT 15.Sep 9,00% L = 8,00%

Margen de ganacia = 1% FUTUROS Vender 10 futuros de T-bills F(diciembre) = 91,75 F(marzo) = 91,60 F(junio) = 91,45 I pagado $225.000 (9%) 15.Dic 9,25% L = 9,15% (0,001)10M(0,25) = $2.500 Comprar 10 futuros deT-bills F(diciembre) = 90,85 ganancia = 10[91,75-90,85]10.000(0,25) = $22.500 Margen de ganancia = 1% 15.Marzo 9,40% L = 9,50% (-0,001)10M(0,25) = -$2.500 Comprar 10 futuros deT-bills F(Marzo) = 90,50 ganacia = 10[91,60-90,50]10.000(0,25) = $27.500 Margen de ganancia = 1% FECHA TASA

SPOT FUTUROS 15.June 9,55% L = 10,05% Comprar 10 futuros deT-bills (-0,005)10M(0,25) = - $12.500 F(junio) = 89,95 ganancia = 10[91,45-89,95]10.000(0,25) = $37.500 Margen de ganacia = 1% 15.Sep Recibir $10M

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