Himpunan - E-Learning | Universitas AMIKOM Yogyakarta

Himpunan - E-Learning | Universitas AMIKOM Yogyakarta

Himpunan 1 Tujuan : 2 memahami pengertian matematika diskrit mengenal ruang lingkup kajian matematika diskrit dan penerapannya Pokok Bahasan

3 Pengantar matematika diskrit konsep dasar himpunan Apakah Matematika Diskrit itu? 4 Cabang matematika yang mempelajari objek-objek diskrit. Apa yang dimaksud dengan kata diskrit (discrete)? Benda disebut diskrit jika:

- terdiri dari sejumlah berhingga elemen yang berbeda, atau - elemen-elemennya tidak berkelanjutan (uncontinue). Contoh: himpunan bilangan bulat (integer) , graf, pohon Lawan kata diskrit: kontinyu atau menerus 5 (continuous). Contoh: himpunan bilangan riil (real) Kenapa penting

diskrit ? belajar matematika Komputer digital bekerja secara diskrit. Informasi yang disimpan dan dimanipulasi oleh komputer adalah dalam bentuk diskrit. Matematika

diskrit merupakan ilmu fondasinya dalam pendidikan informatika. Matematika diskrit memberikan fondasi 6 matematis untuk kuliah-kuliah lanjut di informatika. algoritma, struktur data, basis data, otomata dan teori bahasa formal, jaringan

komputer, keamanan komputer, sistem operasi, teknik kompilasi, dsb. Matematika diskrit adalah matematika yang khas informatika Matematika-nya orang Informatika... 7 Set atau Himpunan adalah bentuk dasar

matematika yang paling banyak digunakan di teknik informatika Salah satu topik yang diturunkan dari Himpunan adalah Class atau collection Definisi 8 Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen,

unsur, atau anggota. HMJTI adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota berupa mahasiswa. Tiap mahasiswa berbeda satu sama lain. Notasi himpunan 9 Himpunan dinyatakan dg huruf capital misal : A, B, G Sedangkan elemennya dg huruf kecil a, b, c..,1,2,..

Penulisan Himpunan 10 1. Enumerasi menyebutkan semua anggota dari himpunan tersebut. contoh : Himpunan tiga bilangan ganjil pertama: A = {1,3,5}. Keanggotaan Himpuan x A : x merupakan anggota himpunan A; x A : x bukan merupakan anggota himpunan A.

Contoh 2. Misalkan: A = {1,3,5,8}, R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }, K = {{}} maka 1 A, {a, b, c} R, sedangkan c R , {} K, sedangkan {} A 11 Beberapa simbol baku pada himpunan

N = himpunan bilangan alami (asli) = { 0,1, 2, 3,... } Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... } Q = himpunan bilangan rasional R = himpunan bilangan riil C = himpunan bilangan kompleks sedangkan U menyatakan himpunan semesta. Contoh: Misalkan U = {a, b, c, d, e} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {a, d, e}. 12

3. Notasi Persyaratan A = {x | persyaratan x} contoh : A adalah himpunan bilangan asli yang kecil dari 10 A = { x | x 10 dan x N } atau A = { x N | x 10 } yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} Diagram Venn 13

untuk menyatakan relasi antar himpunan Misal U = {1, 2, , 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}. maka notasi dalam diagram Venn: U A 1

3 B 2 5 7 8 6 4 himpunan lain.

14 Contoh : a. Misalkan, M = { mahasiswa AMIKOM } M1 = { mahasiswa anggota HMJTI} M2 = { mahasiswa anggota AFC} M3 = { mahasiswa anggota AMO} Dengan demikian, M = { M1, M2, M3 } b. Bila P1 = {x, y}, P2 = { {x, y} } atau P2={P1}, Sementara itu, P3 = {{{x, y}}}, maka x P1 dan y P 2,

sehingga P1 P2 , sedangkan P1 P3, tetapi P2 P3 Himpunan Berhingga (Finite Set) 15 Himpunan yang mempunyai anggota berhingga disebut himpunan berhingga (finite set) Sembarang himpunann yang anggotanya tak berhingga disebut himpunan tak berhingga(infinite set) contoh A={a,b,c,d,e,f} adalah finite set,

sedangkan Z adalah infinite set. Kardinalitas 16 menyatakan banyaknya anggota dari himpunan Notasi: n(A) atau A contoh : (i) B = { x | x merupakan bilangan prima lebih kecil dari 10}, atau B = {2, 3, 5, 7} maka B =8 (iii) A = {t, {t}, {{t}},{{{t}}} }, maka A = 4

Himpunan kosong (null set) 17 Himpunan yang tidak mempunyai anggota atau kardinalitasnya = 0 contoh A ={x|x bilangan bulat x2 + 1 = 0} maka n(A)= 0 notasi himpunan kosong {} atau Himpunan Bagian (Subset) 18

Himpunan A disebut himpunan bagian (subset) dari himpunan B jika dan hanya jika setiap anggota A merupakan anggota dari B. Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A. Notasi: A B Diagram Venn: U A B

19 Catatan : A dan A A, maka dan A disebut himpunan bagian tak sebenarnya (improper subset) dari himpunan A. Contoh: A = {a,b,c}, maka {a,b,c} dan adalah improper subset dari A. Contoh. (i) { a, b, c} {a, b, c, d, e} 20 (ii) { a, b, c} {a, b, c } (iii) N Z R C

(iv) Jika A = { (x, y) | x + y < 4, x 0, y 0 } dan B = { (x, y) | x + y < 2, x 0 dan y 0 }, maka B A. TEOREMA 1. Untuk sembarang himpunan A berlaku hal-hal sebagai berikut: (a) A adalah himpunan bagian dirinya sendiri (yaitu, A A). (b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan (dalam hal ini A ( A)). (c) Jika A B dan B C, maka A C 21 Catatan : A B tidak sama dengan A B

Pada : A B : A adalah himpunan bagian dari B tetapi A B. A adalah himpunan bagian sebenarnya (proper subset) dari B. Contoh: {a} dan {b,c} adalah proper subset dari {a,b,c} sedangkan : A B : digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah himpunan bagian (subset) dari B yang memungkinkan A = B. Himpunan yang Ekivalen 22 Himpunan A disebut ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut

sama. Notasi : A ~ B A = B A = { 1,2,3,4} dan B = { ali, budi, joko,tuti }, maka A ~ B sebab A = B = 4 Himpunan yang Sama 23 A = B jika dan hanya jika setiap anggota A merupakan anggota B dan sebaliknya setiap anggota B merupakan anggota A.. Jika tidak demikian, maka A B.

Notasi : A = B A B dan B A Himpunan Kuasa 24 Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang anggotanya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri. Notasi : P(A) atau 2A Jika A = m, maka P(A) = 2m.

Contoh 12. Jika A = { 1, 2 }, maka P(A) = { , { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }} Contoh 13. Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah P() = {}, dan himpunan kuasa dari himpunan {} adalah P({}) = {, {}}. Himpunan Saling Lepas 25 Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki anggota yang sama. Notasi : A // B Diagram Venn:

U A B Contoh 11. Jika A = { x | x P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... }, maka A // B. Operasi Terhadap Himpunan 26 1. Irisan (intersection) Notasi : A B = { x x A dan x B }

Contoh (i) Jika A = {a,b,c,d,e} dan B = {c,e,f,g}, maka A B = {c,e} (ii) Jika A = { 1,2,3} dan B = { 4,5}, maka A B = . Artinya: A // B 2. Gabungan (union) 27 Notasi : A B = { x x A atau x B } Contoh: (i) Jika A = { a, b, c} dan B = { b,c,d,e }, maka A B = {

a,b,c,d,e } (ii) A = A 28 5. Beda Setangkup (Symmetric Difference) Notasi: A B = (A B) (A B) = (A B) (B A) Contoh 19. Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 }, maka A B = { 3, 4, 5, 6 } 3. Komplemen (complement)

29 Notasi : A = { x x U, x A } Contoh Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 7 }, (i) jika A = {1, 3, 4, 6}, maka A = {2, 5, 7} (ii) jika A = { x | x/2 P, x < 7 }, maka A = { 1, 3, 5, 7, } 4. Selisih (difference) 30 Notasi : A B = { x x A dan x B } = A B

Contoh. (i) Jika A = { a, b, c,d,e,f} dan B = { c,d,f}, maka A B = { a,b,e} dan B A = (ii) {1, 3, 5} {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} {1, 3, 5} = {2} 31 TEOREMA 2. Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut: (a) A B = B A (hukum komutatif) (b) (A B ) C = A (B C ) (hukum asosiatif)

Contoh 20. Misalkan 32 U = himpunan mahasiswa P = himpunan mahasiswa yang nilai ujian UTS di atas 80 Q = himpunan mahasiswa yang nilain ujian UAS di atas 80 Seorang mahasiswa mendapat nilai A jika nilai UTS dan nilai UAS keduanya di atas 80, mendapat nilai B jika salah satu ujian di atas 80, dan mendapat nilai C jika kedua ujian di bawah 80. (i) Semua mahasiswa yang mendapat nilai A : P Q (ii) Semua mahasiswa yang mendapat nilai B : P Q (iii) Ssemua mahasiswa yang mendapat nilai C : U (P Q)

33 6. Perkalian Kartesian (cartesian product) Notasi: A B = {(a, b) a A dan b B } Contoh. (i) Misalkan C = { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b }, maka C D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) } (ii) Misalkan A = B = himpunan semua bilangan riil, maka A B = himpunan semua titik di bidang datar 34

Catatan: 1. Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: A B = A . B . 2. (a, b) (b, a). 3. A B B A dengan syarat A atau B tidak kosong. Pada Contoh 20(i) di atas, C = { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b }, D C = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) } C D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) } D C C D. 4. Jika A = atau B = , maka A B = B A = Contoh. Misalkan

35 A = himpunan makanan = { s = soto, b = bakso, n = nasi goreng, m = mie ayam} B = himpunan minuman = { c = coca-cola, t = teh, d = es jeruk} Berapa banyak kombinasi makanan dan minuman yang dapat disusun dari kedua himpunan di atas? Jawab: A B = A B = 4 3 = 12 kombinasi dan minuman, yaitu {(s, c), (s, t), (s, d), (b, c), (b, t), (b, d), (n, c), (n, t), (n, d), (m, c), (m, t), (m, d)}.

Contoh. Daftarkan semua anggota 36 himpunan berikut: (a) P() (b) P() (c) {}P() (d) P(P({3})) Penyelesaian: (a) P() = {} (b) P() = (ket: jika A = atau B = maka A B = ) (c) {}P() = {}{} = {(,)) (d) P(P({3})) = P({ , {3} }) = {, {}, {{3}}, {, {3}} } Perampatan Operasi Himpunan 37

n A 1 A 2 ... A n A i i 1 n A 1 A 2 ... A n A i i 1 n A 1 A 2 ... A n i1 A i n

A 1 A 2 ... A n i 1 A i Contoh 22. 38 (i) A (B1B2 ... Bn) = (A B1) (A B2) ... (A Bn) n n i 1

i 1 A (Bi ) ( A Bi ) (ii) Misalkan A = {1, 2}, B = {a, b}, dan C = {, }, maka A B C = {(1, a, ), (1, a, ), (1, b, ), (1, b, ), (2, a, ), (2, a, ), (2, b, ), (2, b, ) } daftar pustaka 39 Munir, Rinaldi, Matematika Diskrit, Edisi

kedua,Penerbit Informatika Bandung,2001

Recently Viewed Presentations

  • A Deterministic Coreference System with Rich Syntactic ...

    A Deterministic Coreference System with Rich Syntactic ...

    Multi-pass Coreference System Deterministic, multi-pass, constraint based system. Decisions based on more confident mention pairs first. Further decisions based on previously accumulated knowledge about mentions. * 'President Bush and his colleague had different opinions.
  • Number of Non-Conformance Items n= GOOD 0 M

    Number of Non-Conformance Items n= GOOD 0 M

    Process Stand perpendicular to bead receptacle with your body straight and your feet together. Grasp the paddle handle with your right thumb on top of the handle flange with your index finger extended parallel underneath the handle flange. Raise the...
  • Integrating gender in m&amp;e

    Integrating gender in m&e

    Trends in childhood mortality for the 5-year period preceding the survey, Zimbabwe 1988-2015. What is Equity? What is equity. Of the children who were of the official primary school entry age, 73.3 percent were in the first grade of primary...
  • THIS? THAT? WORD CHOICE OR WORD CHOICE MATTERS

    THIS? THAT? WORD CHOICE OR WORD CHOICE MATTERS

    Homonym: Happens when a word is incorrectly selected because it sounds like another word with a different meaning. Ex. Except or Accept, Effect or Affect, Waist or Waste. Unintended Connotation: Comes about when a word is incorrectly selected because it...
  • VISUAL LITERACY - WordPress.com

    VISUAL LITERACY - WordPress.com

    Visual Literacy DefinedVisual literacy is a set of abilities that enables an individual to effectively find, interpret, evaluate, use, and create images and visual media. Visual literacy skills equip a learner to understand and analyze the contextual, cultural, ethical, aesthetic,...
  • Consumer Division - YPLEA

    Consumer Division - YPLEA

    Video is the primary application that drives Internet usage. Regular web surfing, e-mail, photos, and even music downloads are unlikely to generate a usage bill. You can log on to Northwestel's website (www.nwtel.ca) Sign-up for automatic e-mail usage notification service
  • Computer Literacy and Applications Introduction To Computer and

    Computer Literacy and Applications Introduction To Computer and

    Graphics card: Microsoft DirectX 9 graphics device with WDDM driver. Obtaining Application Software. How can I obtain software for my PC??? Commercial Software - copyrighted software that you must buy before you use it.
  • Autonomy Part II: Architectures for Autonomy Objectives

    Autonomy Part II: Architectures for Autonomy Objectives

    Given the a priori knowledge, find the answer efficiently. Even though statistical/random, it is not inference. Inference uses deliberation to add missing information or supply a missing relationship between data sets or concepts; infer new knowledge. Motion planning uses statistics...