Funciones Elementales

Funciones Elementales

FUNCIONES ELEMENTALES I CONTENIDOS MNIMOS

Las funciones reales de variable real. Grfica y tabla de una funcin. Descripcin con la terminologa adecuada de funciones dadas mediante sus grficas: dominio, signo, cortes con los ejes, simetras, periodicidad, tendencias, crecimiento, decrecimiento y extremos. Utilizacin de tablas y grficas funcionales para la interpretacin de fenmenos sociales. Obtencin de valores desconocidos en funciones dadas por su tabla: interpolacin y extrapolacin lineal. Problemas de aplicacin. Caractersticas de las funciones polinmicas, raz, exponencial, logartmica, valor absoluto, parte entera y racionales sencillas, obtenidas a partir de la expresin analtica que las define. Las funciones definidas a

trozos. Utilizacin de las funciones como herramienta para la resolucin de problemas relacionados con las ciencias sociales: financieros, de poblacin, etc., y para la interpretacin de fenmenos sociales y econmicos. DEFINICIN DE FUNCIN Una funcin es una relacin entre dos variables, de forma que a cada valor de la variable independiente, x, le corresponde un nico valor de la variable dependiente, y

Recuerda que una funcin puede venir expresada como un enunciado: gano 3/hora, una expresin algebraica: y = 3x, una tabla de valores o una grfica. TIPOS DE FUNCIONES A. B. C. D. E. F.

Funciones polinmicas Funciones racionales Funciones radicales Funciones definidas a trozos Funcin valor absoluto Funcin parte entera ESTUDIO DE UNA FUNCIN Hacer el estudio de una funcin consiste en analizar sus caractersticas

ESTUDIO DE UNA FUNCIN DOMINIO a partir de su expresin algebraica: Polinmica: Estas expresiones estn definidas para todos los nmeros reales: Domf = R. Racional: Un cociente no est definido cuando el denominador es 0 Irracional: Las races de ndice par solo estn definidas para radicandos positivos.

Logaritmos: solo estn definidos para nmeros reales positivos. Razones trigonomtricas de seno y coseno: siempre estn definidas. La tangente: no est definida cuando el coseno es cero. Adems debes tener en cuenta: El contesto real del que se ha extrado la funcin (ejemplo: el rea de un terreno)

Dnde ha sido definida la funcin (ejemplo: la recta y = 3x 8 definida en el intervalo x e (-1, 5] es un segmento rectilneo) A. FUNCIONES POLINMICAS. Funcin afn f x mx n Estudio Su grfica es una lnea recta: m = pendiente n = ordenada en el origen ( si n = 0 la

recta pasa por el origen de coordenadas y se llama funcin lineal o de proporcionalidad directa) Dominio: R Recorrido: R si m no es 0 / n si m = 0 Monotona: Si m > 0 la recta es creciente Si m < 0 la recta es decreciente Si m = 0 la recta es constante m, n

A. FUNCIONES POLINMICAS. Funcin afn Pendiente: aumento o disminucin que se produce en la y cuando x aumenta una unidad y2 y1 m x2 x1 Ecuacin punto pendiente: y m( x x0 ) y0

Grfica: es suficiente con pintar dos puntos siendo uno de ellos la ordenada en el origen A. FUNCIONES POLINMICAS. Funcin afn Ejemplo: el beneficio de una empresa es la diferencia entre las ventas y los costos. BENEFICIO = VENTAS - COSTOS - VENTAS: Es el producto de la cantidad vendida

por el valor de cada unidad. VENTAS = PRECIO x CANTIDAD - COSTOS: Es la suma del costo fijo (alquiler del local) y del costo variable. COSTOS = COSTO FIJO + COSTO MARGINAL x CANTIDAD. (El costo marginal es el costo de cada unidad extra que se fabrica) Cul sera el ingreso o beneficio para 300 unidades?

BENEFICIO = PRECIO X CANTIDAD - (COSTO FIJO + COSTO MARGINAL X CANTIDAD ) Beneficio: 25 x cantidad (1200 + 15 x cantidad) A. FUNCIONES POLINMICAS. Funcin afn Interpolacin lineal: Si de una funcin conocemos solamente dos de sus puntos, es claro que nada o casi nada podremos decir de su comportamiento en otros puntos. Sin embargo, si pudiramos suponer que entre esos dos puntos la funcin es lineal, podramos hallar exacta o aproximadamente sus valores en puntos intermedios valindonos de la ecuacin de una recta.

Supongamos que la funcin que pasa por los puntos A(x 0, x1), B(y0, y1) es lineal en el intervalo [x0, x1], entonces podemos hallar su valor para cualquier abscisa, x, de este intervalo: x ( x0 , x1 ) y1 y0 f ( x) ( x x0 ) y0 x1 x0

A. FUNCIONES POLINMICAS. Funcin afn Extrapolacin lineal: x es exterior al intervalo [x0, x1]. En la extrapolacin, cuanto mas alejado est x del intervalo, menos fiable es el valor que obtenemos para f(x). Ejemplo: si colgamos de un muelle una pesa de 40g, se estira hasta 12mm. Y si colgamos una pesa de 60g, se estira has 20mm. a)

Cul sera su longitud si colgramos una pesa de 55g? 8 f (55) (55 40) 12 18mm 20 b) Cul sera su longitud si colgramos una pesa de 100g? (resultado razonable) 8 f (100) (100 40) 12 36mm 20 c)

Y si la pesa fuera de 5kg? (el muelle se deforma o se rompe. Es un disparate) 8 f (5000) (5000 40) 12 1996mm 20 A. FUNCIONES POLINMICAS. Funcin cuadrtica f x ax 2 bx c Estudio Su grfica es una parbola con

vrtice el punto: eje de simetra la recta: Dominio: R a , b, c b b V , f 2a 2a

b x 2a Simetra: si b = 0 es par Si a > 0 la parbola es convexa y el vrtice es un mnimo. Si a < 0 la parbola es cncava y el vrtice es un mximo Puntos de corte con los ejes:

Corta al eje X en dos puntos, uno o ninguno, segn el nmero de races reales de ax2 + bx + c = 0, y corta al eje Y en el punto (0, c) 2 f x ax , a 0 f x ax 2 , a 0

A. FUNCIONES POLINMICAS. Funcin cuadrtica Traslacin vertical y = ax + c 2 La parbola y = ax2 + c es una traslacin vertical de c unidades de la parbola y = ax2 -Si c > 0, la traslacin es hacia arriba. -Si c < 0, la traslacin es hacia abajo.

Traslacin horizontal y = a(x p) 2 La parbola y = a(x p)2 es una traslacin horizontal de p unidades de la parbola y = ax2 El eje de simetra es la recta x = p - El vrtice es el punto V(p, 0) - Traslacin horizontal y vertical y = a(x p) 2 + k La parbola y = a(x p)2 + k es una traslacin horizontal de p unidades de la parbola y = ax2 y una traslacin vertical de k unidades, o viceversa.

- El eje de simetra es la recta x = p - El vrtice es el punto V(p, k) Traslacin vertical Traslacin vertical A. FUNCIONES POLINMICAS. Funcin cuadrtica Hallar la ecuacin dada una grfica: a) El coeficiente a es el valor que aumenta o disminuye la ordenada y cuando la abscisa b

m x aumenta una unidad desde el vrtice. 2a b) El coeficiente b se halla despejndolo en la frmula del eje de simetra: c) El coeficiente c es la ordenada del punto donde la parbola corta al eje Y A. FUNCIONES POLINMICAS. Funcin cuadrtica Un uso comn en los negocios es maximizar las ganancias, es decir, la

diferencia entre los ingresos (dinero que entra) y los costos de produccin (dinero gastado). Ejemplo: supongamos que las ganancias de una empresa vienen dadas a partir de la siguiente ecuacin: P = -20s2 + 1400s 12000 A. FUNCIONES POLINMICAS.

Funcin de grado >2 n n 1 f x an x an 1 x ......... a1 x a0 ai Estudio Dominio y recorrido: R Es continua en todo el dominio.

Su grfica es una curva con un mximo de n-1 extremos relativos. a , b, c ax3 f ( x) ax 3 bx 2 cx d , a 0 ax3

Grado 4 Grado 5 B. FUNCIONES RACIONALES Funcin de proporcionalidad inversa k f x x

k Estudio Su grfica es una hiprbola con asntotas en los ejes de coordenadas. Dominio: 0 Ramas: Si k > 0 la hiprbola se sita en el primer y el tercer cuadrantes. Es decreciente en todo su dominio. Si k < 0 la hiprbola se sita en el

segundo y cuarto cuadrantes. Es creciente en todo su dominio. Simetra: impar, respecto del origen de coordenadas k 0 k 0 B. FUNCIONES RACIONALES Funcin de proporcionalidad inversa

En la grfica de una funcin de proporcionalidad inversa, k es el rea del rectngulo cuyos vrtices opuestos son un punto cualquiera P(x, y) de la hiprbola y el punto de corte de las asntotas. La constante k es positiva si la hiprbola es decreciente, y es negativa si la hiprbola es creciente. B. FUNCIONES RACIONALES Hiprbolas trasladadas k f x

b x a La hiprbola se traslada segn los parmetros a y b: Traslacin horizontal de a unidades. La asntota vertical es la recta y = a. Traslacin vertical de b unidades. La asntota horizontal es la recta x = b. k , a, b

B. FUNCIONES RACIONALES B. FUNCIONES RACIONALES k f x 2 x k Estudio Dominio: 0

Asntotas: en los ejes coordenados. Ramas: Si k > 0 la hiprbola se sita en el primer y el segundo cuadrantes. Si k < 0 la hiprbola se sita en el tercer y el cuarto cuadrantes. Simetra: Par, respecto del eje OY. B.

FUNCIONES RACIONALES P( x) f x General Q( x) Estudio Dominio todos los nmeros reales excepto aquellos en los que se anula el denominador, es decir, Q(x)=0. En esos puntos puede tener asntotas verticales u

oblicuas. Asntotas: Puede presentar una asntota horizontal si el grado del numerador es menor o igual al del denominador. Tambin tiene una asntota oblicua si el grado del numerador es uno ms que el del denominador. Las posibles asntotas verticales provienen

de las races del denominador. Para un mejor estudio de las asntotas es necesario el conocimiento de lmites de funciones. C. FUNCIONES RADICALES (funciones irracionales) n N

f x n g ( x) Estudio Dominio: Si n es par: el intervalo en g ( x) 0 el que Si n es impar: Monotona: Creciente en

todo su dominio (Para que sea funcin consideramos solo uno de los resultados, el positivo o el negativo) El periodo de un pndulo T (tiempo de una oscilacin) en funcin de su longitud l: T = 2 l n par n impar

RESUMEN TRANSFORMACIONES DE FUNCIONES Representacin de y = f(x) + k, y = f(x) k es una traslacin de f(x) hacia arriba o hacia abajo respectivamente. Representacin de y = -f(x) es la simtrica de f(x) respecto del eje X. Representacin de y = f(x + k), y = f(x + k) es una traslacin a unidades hacia la derecha o hacia la izquierda.

Representacin y = f(-x) es la simtrica de f(x) respecto del eje Y. E. FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS Definicin: Una funcin definida a trozos es aquella cuyo dominio est dividido en intervalos disjuntos, de forma que en cada intervalo la funcin viene dada por expresiones matemticas distintas. Para dibujar las funciones a trozos tendremos que representar cada una de las partes de las que est compuesta teniendo en cuenta, adems, que solo tienen validez en el

intervalo en el que estn definidas. Ejemplo 1: 2 si x0 x

f ( x) 3 x 6 si 0 x 3 x 2 8 x 12 si x 3 TRAMO I TRAMO II

TRAMO III Ejemplo 2: 2 si x

4 2 f ( x) x 5 x 4 si 4 x 1 3 8 si x 1 x 1 TRAMO I

TRAMO II TRAMO III H. FUNCIN VALOR ABSOLUTO f ( x) x Se denomina as la funcin que a cada nmero real hace corresponder su valor absoluto.

Se puede expresar tambin como una funcin definida a trozos Estudio Recorrido: Puesto que el valor absoluto de un nmero es siempre positivo el recorrido de una funcin con valor absoluto estar incluido en los .

x si f ( x) x si x0 x 0 H. FUNCIN VALOR ABSOLUTO De un polinomio f ( x) P ( x)

A trozos: P ( x) si f ( x) P ( x) si P( x) 0 P ( x) 0 Para establecer los intervalos en los que P(x) tiene signo negativo hay que resolver la ecuacin P(x)=0 y estudiar el

signo de P en cada uno de los intervalos en los que queda dividida la recta real. Para dibujar su grfica, se dibuja normalmente y despus se hace la simetra respecto del eje horizontal en aquellos tramos en los que la funcin sea negativa. Ejemplo 2 f ( x) x 8 x 12

Para expresar la funcin a trozos se buscan las races del polinomio P. P ( x) x 2 8 x 12 0 x1 2, x2 6 Se estudia el signo de P en cada intervalo de la recta real. x 2 8 x 12 si

x2 2 f ( x) x 8 x 12 si 2 x 4 x 2 8 x 12 si 4 x La grfica sera:

G. FUNCIN PARTE ENTERA f ( x ) E x Se denomina as la funcin de ecuacin f(x)=E[x], que a cada nmero real hace corresponder el mayor nmero entero que es menor o igual que l. Se puede expresar tambin

como una funcin definida a trozos ... 1 0 f ( x) 1 2

3 ... si 1 x 0 si 0 x 1 si 1 x 2 si 2 x 3 si 3 x 4 f(x)=E[x]

FUNCIN PARTE DECIMAL La parte decimal o mantisa de un nmero x es Mant(x) = x Ent(x) A partir de esto, definimos la funcin decimal de x, Mant(x), que hace corresponder a cada nmero x su parte decimal.

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